ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

 

1.    Να αποδείξετε ότι σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, η δύναμη επαναφοράς είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και έχει αντίθετη φορά μ' αυτήν. Να γίνει το αντίστοιχο διάγραμμα του μέτρου της δύναμης σε σχέση με την απομάκρυνση.

 

2.    Να αποδείξετε ότι σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η περίοδος του σώματος που ταλαντώνεται μάζας m,
δίνεται από τη σχέση  T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{D}} ,
 όπου D η σταθερά της ταλάντωσης.

 

3.    Σε σύστημα που εκτελεί αμείωστη γ.α.τ. να αποδείξετε τη σχέση

Α. που δίνει τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσής του U σε σχέση με με τη μετατόπιση x.

Β. που δίνει τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσής του U σε σχέση με την ολική ενέργειά του Ε

Γ. που δίνει την κινητική ενέργεια της ταλάντωσής του Κ σε σχέση με την ολική ενέργειάτου Ε

καινα γίνουν τα αντίστοιχα διαγράμματα σε σχέση με το χρόνο ({\varphi _0} = 0).

 

4.  Σε σύστημα που εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση να αποδείξετε τησχέση

Α. που δίνει τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσής του U σε σχέση με την ολική ενέργειά του Ε

Β. που δίνει την κινητική ενέργεια της ταλάντωσής του Κ σε σχέση με την ολική ενέργειάτου Ε

καινα γίνουν τα αντίστοιχα διαγράμματα σε σχέση με το χρόνο.

 

5.  Να αποδείξετε ότι το αποτέλεσμα της σύνθεσης δύο α.α.τ. της ίδιας συχνότητας, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση, είναι μία α.α.τ. που γίνεται γύρω από το ίδιο σημείο, με την ίδια διεύθυνση και την ίδια συχνότητα, με το πλάτος και την αρχική της φάση να εξαρτώνται από τα στοιχεία των επί μέρους ταλαντώσεων. Να μελετήσετε τις περιπτώσεις που φ=0 και φ=π.

 

6. Να αποδείξετε την εξίσωση του διακροτήματος.

 

7. Να αποδείξετε ότι η συχνότητα ενός διακροτήματος δίνεται από τη σχέση {f_\delta } = \left' {{f_1} - {f_2}} \right', όπου {{f_1}} και {{f_2}} οι συχνότητες των επί μέρους ταλαντώσεων.

 

8. Να αποδειχθεί ο θεμελιώδης νόμος της κυματικής.

 

9. Να αποδειχθεί η μαθηματική έκφραση του αρμονικού κύματος.

 

10. Να αποδειχθεί ότι όταν κατά τη συμβολή δύο κυμάτων, τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις {r_1} και {r_2} από τις πηγές διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ, ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος.

 

11. Να αποδειχθεί ότι όταν κατά τη συμβολή δύο κυμάτων, τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις {r_1} και {r_2} από τις πηγές διαφέρουν κατά περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος λ/2, παραμένουν συνεχώς ακίνητα.

 

12. Να αποδειχθεί η μαθηματική έκφραση του στάσιμου κύματος.

 

13. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία ενός στάσιμου κύματος μήκους κύματος λ, που απέχουν απόσταση x από την αρχή του ίση με (2k + 1)\frac{\lambda }{4}, k=0,1,2,..., έχουν μηδενικό πλάτος ταλάντωσης.

 

14. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία ενός στάσιμου κύματος μήκους κύματος λ, που απέχουν απόσταση x από την αρχή του ίση με k\frac{\lambda }{2}, k=0,1,2,..., έχουν μέγιστο πλάτος ταλάντωσης.

 

15. Να αποδειχθεί ότι όταν μία ακτίνα διέρχεται από ένα υλικό α σε ένα υλικό b στο οποίο η ταχύτητα του φωτός είναι μικρότερη, τότε η γωνία διάθλασης είναι μικρότερη από τη γωνία πρόσπτωσης.

 

16. Να αποδειχθεί ότι όταν μία ακτίνα προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια δύο οπτικών μέσων, τότε δεν αλλάζει κατεύθυνση.

 

17. Να αποδειχθεί ότι το μήκος κύματος μιας μονοχρωματικής ακτινοβολίας που μεταβαίνει από τον αέρα σε κάποιο άλλο μέσο, μειώνεται.

 

18. Να αποδειχθεί η μαθηματική έκφραση της κρίσιμης γωνίας.

 

19. Να αποδειχθεί ότι στην κύλιση ενός τροχού, ισχύουν:

Α. {\upsilon _{cm}} = \omega R και

Β. {a_{cm}} = {a_{\gamma \omega \nu }}R.

 

20. Να αποδειχθεί ότι η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο.

 

21. Να αποδειχθεί η μαθηματική έκφραση που δίνει το μέτρο της στροφορμής ενός στερεού σώματος.

 

22. Να αποδειχθεί η μαθηματική έκφραση της γενικότερης διατύπωσης του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης.

 

23. Να αποδειχθεί η αρχή διατήρησης της στροφορμής για ένα σώμα και για σύστημα σωμάτων.

 

24. Να αποδειχθεί ότι η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής ενός στερεού, δίνεται από τη σχέση: K = \frac{1}{2}I{\omega ^2}.

 

25. Να αποδειχθεί ότι το έργο μίας δύναμης σταθερής ροπής τ, καθώς ένα σώμα στρέφεται κατά γωνία θ, δίνεται από τη σχέση: W=τθ.

 

26. Να αποδειχθεί ότι η ισχύς  μίας δύναμης σταθερής ροπής τ, καθώς ένα σώμα στρέφεται, δίνεται από τη σχέση: P=τω.

 

27. Να αποδειχθεί ότι κατά την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών μαζών {m_1} και {m_2} και αρχικών ταχυτήτων με μέτρα {\upsilon _1} και {\upsilon _2} οι σφαίρες αποκτούν ταχύτητες με μέτρα \upsilon _1^' = \frac{{2{m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}{\upsilon _2} + \frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}{\upsilon _1} και \upsilon _2^' = \frac{{2{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}{\upsilon _1} + \frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}{\upsilon _2}.

 

28. Να αποδειχθεί ότι κατά την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών μαζών {m_1} και {m_2} και αρχικών ταχυτήτων με μέτρα {\upsilon _1} και  {\upsilon _2} = 0, οι σφαίρες αποκτούν ταχύτητες με μέτρα \upsilon _1^' = \frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}{\upsilon _1} και \upsilon _2^' = \frac{{2{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}{\upsilon _1}.

 

29. Να αποδειχθεί ότι κατά την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών μαζών {m_1} και {m_2}, όπου {m_1} = {m_2} και αρχικών ταχυτήτων με μέτρα {\upsilon _1} και  {\upsilon _2}, οι σφαίρες ανταλάσσουν ταχύτητες.

 

30. Να αποδειχθεί ότι κατά την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών μαζών μαζών {m_1}και {m_2}, όπου{m_2} > > {m_1}και αρχικά ακίνητη, η σφαίρα με μάζα {m_2} θα παραμείνει ακίνητη, ενώ η σφαίρα με μάζα {m_1}θα ανακλαστεί με ταχύτητα ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς από αυτήν που είχε πριν την κρούση.

 

31. Να αποδειχθεί ότι κατά την πλάγια ελαστική κρούση μίας σφαίρας σε λείο τοίχο, η γωνία πρόσπτωσης της σφαίρας είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης.

 

32. Να αποδειχθεί ότι η συχνότητα {f_A} που αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής από μια ακίνητη ως προς το μέσο διάδοσης (αέρας) πηγή, μήκους κύματος λ, που εκπέμπει ηχητικό σήμα συχνότητας {f_S},  είναι {f_A} = {f_S} = \upsilon /\lambda , όπυ υ η ταχύτητα του ηχητικού σήματος.

 

33. Να αποδειχθεί ότι η συχνότητα {f_A} που αντιλαμβάνεται ένας κινούμενος με ταχύτηα {\upsilon _A} προς μία  ακίνητη πηγή παρατηρητής, δίνεται από τη σχέση {f_A} = \frac{{\upsilon + {\upsilon _A}}}{\upsilon }{f_S} , όπου {f_S}η συχνότητα  του ηχητικού σήματος που εκπέμπει η πηγή συχνότητας {f_S}και  υ η ταχύτητα του ηχητικού σήματος.

 

34. Να αποδειχθεί ότι η συχνότητα {f_A} που αντιλαμβάνεται ένας απομακρυνόμενος με ταχύτηα {\upsilon _A} από μία  ακίνητη πηγή παρατηρητής, δίνεται από τη σχέση {f_A} = \frac{{\upsilon - {\upsilon _A}}}{\upsilon }{f_S} , όπου {f_S}η συχνότητα  του ηχητικού σήματος που εκπέμπει η πηγή συχνότητας {f_S}και  υ η ταχύτητα του ηχητικού σήματος.

 

35. Να αποδειχθεί ότι η συχνότητα {f_A} που αντιλαμβάνεται ένας ακίνητος παρατηρητής, δίνεται από τη σχέση {f_A} = \frac{\upsilon }{{\upsilon - {\upsilon _S}}}{f_S} , όπου {f_S}η συχνότητα  του ηχητικού σήματος που εκπέμπει η πηγή συχνότητας {f_S}, η οποία πλησιάζει τον παρατηρητή με σταθερή ταχύτητα μέτρου {{\upsilon _S}}( υ η ταχύτητα του ηχητικού σήματος).

 

36. Να αποδειχθεί ότι η συχνότητα {f_A} που αντιλαμβάνεται ένας ακίνητος παρατηρητής, δίνεται από τη σχέση {f_A} = \frac{\upsilon }{{\upsilon + {\upsilon _S}}}{f_S} , όπου {f_S}η συχνότητα  του ηχητικού σήματος που εκπέμπει η πηγή συχνότητας {f_S}, η οποία απομακρύνεται από τον παρατηρητή με σταθερή ταχύτητα μέτρου {{\upsilon _S}}( υ η ταχύτητα του ηχητικού σήματος).